Arte con Simetría

Manuel Díaz Regueiro

Arte con Simetría na Exposición Patróns de Beleza en Lugo (9-30 de xuño de 2026) e en Santiago, no Paraninfo da USC (26 de novembro ata o 31 de xaneiro de 2027)

29 novas obras extremamente simétricas en 3d

Descubrindo a simetría

Imaxes guía que revelan os patróns, zonas que se repiten, e cantas veces o fan, para axudar ás persoas que observan a peza a descubrir a súa simetría.

Todas as fichas

No cartel Ambo ou (Poliedros Díaz Regueiro) os Ambos son dos seguintes poliedros (algúns nunca representados)

O ambo de Conway ou rectificación de Kepler soe exemplificarse, dándolle un carácter de simple, co cuboctaedro ou icosidodecaedro. Aquí presentamos 18 exemplos do futuro libro 418 ambos de poliedros, entre eles moitos nunca vistos (Poliedros de Díaz Regueiro), con propiedades non coñecidas, ou rexeitadas incluso por expertos, (ambigüidade concavo-convexo, por exemplo) que redefinen a rectificación de Kepler xeral).

IcosahedronTenCompound1-CubeFourCompound4-IcosahedronTwoCompound3

RhombicTriacontahedron-GreatTruncatedCuboctahedron

OctahedronThreeCompound3-OctahedronTwoCompound2-OctahedronFiveCompound1

TruncatedIcosahedron-TruncatedPentakisDodecahedron

IcosahedronStellation36-IcositruncatedDodecadodecahedron-PentagrammicAntiprism

TruncatedGreatDodecahedron-RhombicDodecahedronStellation1-EquilateralChamferedIcosahedron

CubeOctahedronFiveCompound1-CubeSixCompound2-IcosahedronTwoCompound1

17 grupos de simetría planos

Un mosaico compasionata pasado a 3d

10 mosaicos de tradición árabe e da Alhambra. 10 novos

Un patrón p6 oculto, anel de diamantes

16 Kolam (l-system) e un cartel

50 videos pequenos de Fractais Menger-Diaz, poliedros, ambos, simetrías e 200 octógonos iraníes

Obras seleccionadas en Bridges durante 16 anos

Todas as obras dos 16 anos en Bridges poden verse cun perfil característico e determinante: simetría 3d, de ecuacións, xeométrica, de rotación, de simetría plana ou simetría 3d. Con ferramentas coma os l-system ou as propias leis de simetría 2d ou 3d aplicadas a motivos mínimos. E usando, exclusivamente, os meus propios programas 2d ou 3d. Son miles de algoritmos, elaborados durante 27 anos, de modo que as simetrías non son só as rotacionais dun vaso ou dun búcaro, senón poliédricas, obxectos, motivos ou patróns poliédricos que xogan a facer simetrías en 3d, dunha maneira que nunca foi elaborada pola súa dificultade. Igual que os patróns poliédricos fractais, nunca acadados.

Da Exposición do 2013 e posteriores

Facer unha relación completa e extensa dos distintos carteis elaborados dentro da exposición Arte e Ciencia, que Igaciencia organizou e celebrou na Deputación de Lugo do 19 de setembro ao 20 de novembro de 2013, é un traballo a facer con calma durante un certo tempo. Nesta revista dun mes despois, decembro de 2013, quere facer un percorrido, unha cata ou unha pequena mostra do moito que se pode dicir sobre estes temas de Arte e Ciencia desde distintos puntos de vista: desde un punto de vista etnomatemático galego, de que construcións propias galegas podemos fachendear e cales son as matemáticas nas que se basean; dunha ferramenta, Geogebra, sobre as que están baseadas moitas das reflexións sobre estas construcións que se describen, dos perfís de moitas obras da arte, enxeñería e a arquitectura que son ben coñecidas funcións matemáticas, como é o que podería ser o símbolo da exposición, a torre Eiffel, no seu momento un símbolo da enxeñería francesa e hoxe un símbolo artístico de París, unha perfecta fusión de arte e ciencia na que podemos comprobar con Geogebra que o seu perfil é logarítmico. Por todo isto detallar esa construcción con Geogebra é un compromiso que cómpre contar nestas páxinas.

Arte con Simetría con Geogebra

É a harmonía das diversas partes, a súa simetría, o equilibrio feliz; nunha palabra, é todo o que introduce orde, todo o que dá unidade, que nos permite ver claramente e comprender á vez tanto o conxunto coma os detalles.
Henri Poincaré

Partimos dunha figura simétrica suficientemente coñecida. Eliximos unha foto do Taj Mahal.

Que recortamos, cun programa gráfico, ata chegar a esta outra imaxe

Que inserimos en Geogebra

Pulsamos o botón inserir texto no triángulo e pasamos a o botón Inserir imaxe.

Situámonos e facemos clic no punto (-4,0) e inserimos a imaxe anterior. Creamos dous puntos A e B en (4,0) e en (4,4) (puntos do extremo dereito da imaxe) e trazamos a recta que pasa por eses dous puntos.

Agora facemos clic neste botón (Reflectir obxecto respecto á recta). Despois sinalamos a imaxe e despois na propia recta AB. O resultado é a demostración de que o Taj Mahal é unha figura perfectamente simétrica.

En fin, vemos neste exemplo como reconstruír unha figura con motivos mínimos. Para cada figura obter o motivo mínimo que mediante algunha rotación ou simetría nos permita obter a figura completa hexasquel e rosácea

Busca e dibuxa os motivos mínimos de certos logos ou figuras artísticas como o logo de Mistsubitchi, ou o deseño dunha estrela islámica, analizando as simetrías ou isometrías que atopes e intenta descifrar un motivo mínimo que xere o mosaico, un dominio fundamental e a cela base.

Simetría rotacional.

Unha figura ten un centro de simetría cando ao realizar unha rotación ou xiro (menor dunha volta completa) ao redor dese centro, a imaxe producida volve a coincidir coa orixinal. Coa imaxe do noso símbolo celta triskel ocorre iso. Cando realizamos unha rotación de 120º a ese símbolo ao redor do seu centro comprobamos que a figura coincide coa orixinal e iso ocorrerá cada vez que demos un novo xiro como ese. Nestes casos decimos que a figura ten simetría rotacional.

Unha figura ten simetría rotacional de orde n cando ese es o número de veces que coincide ao dar unha volta completa.

O Triskel ten simetría rotacional de orde 3. Os rosetóns das igrexas góticas teñen simetría rotacional de orde variada. Pero imos fixarnos no triskel e no hexasquel.

Os nosos sagrados símbolos galegos: construción e simetrías.

O Hexasquel. En geogebra, plantamos os puntos A(0,0) e B (4,0) Vamos a polígono regular e trazamos un polígono regular de 6 lados, a partires dos puntos A e B. Trazamos os segmentos EB e DA e definimos a intersección dos 2 segmentos, G, que será o centro do hexágono. Definimos unha semicircunferencia pasando por G e por D. Despois imos a rotar obxecto arredor dun punto segundo ángulo e sinalamos o obxecto semicircunferencia e o punto G. Cando nos pregunta o ángulo poñemos 60 a primeira vez, e, repetindo ese proceso, poñemos, 120, 180, 240, e 300 e o resultado será unha hexasquel como os representados en Santa Trega.

Rosalluna 015.jpg

O resultado é a) e sen os elementos da construción é b)

Botóns que usamos

Tamén poderiamos construír un a un as seis semicircunferencias a partir do centro e dos vértices do hexágono. Pero asi, construóndoo con simetria, estamos remarcando o carácter de simetría rotacional de orde 6 da figura. Se facemos visible o centro G e trazamos o círculo de centro G e pasando por un dos puntos do hexágono e facemos non visibles o hexágono e todas as rectas e puntos formados. Temos tanto a silueta dun triskel como a dun hexasquel.

marcamos os puntos nunha das alas dun triskel e poñemos a instrución

Polígono[{I,J,L,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,Z,A_1,B_1,C_1,D_1,E_1,F_1,G_1,H_1,I_1, J_1,L_1,M_1,N_1,O_1,P_1,Q_1,R_1,S_1,T_1,U_1,V_1,W_1,Z_1,A_2,B_2,C_2,D_2,E_2,F_2,G_2,H_2,I_2, J_2,L_2,M_2,N_2,O_2,P_2,Q_2}]

Cambiamos de cor e facemos os puntos non visibles. Despois facemos visible G, e o centro, e rotamos o obxecto poligono así creado arredor dese centro segundo un ángulo 120, e 240. O resultado, un triskel subliñado e resaltado feito con simetría rotacional de orde 3. Non amosamos ao punto G e voilá

Xa temos o símbolo máxico e sagrado noso, galego, ademais de haber pasado e visto o hexasquel.

A Catenaria

Huygens foi o primeiro en usar o termo catenaria nunha carta a Leibniz en 1690, e David Gregory escribiu un tratado sobre a catenaria en 1690. Se rolas unha parábola ao longo dunha liña recta, o seu foco traza unha catenaria. Euler tamén probou en 1744 que a catenaria é a curva que, cando se xira, dá unha superficie mínima (o catenóide, a catenaria de revolución. O catenóide e o plano son as únicas superficies de revolución, que tamén son superficies mínimas).

A catenaria tamén dá lugar a unha forma da estrada sobre a cal unha "roda" poligonal regular pode viaxar sen problemas.

Arco Gateway de San Luís, Missouri, representando a porta de entrada ao Oeste Americano, foi deseñado polo arquitecto Eero Saarinen como un arco catenario. A Sagrada Familia e outras obras de Gaudí teñen unha gran abundancia de catenarias, a curva dunha cadea sostida polos extremos.

Ningunha senón a catenaria é a figura dun verdadeiro arco lexítimo ... E cando un arco de calquera outra figura está soportado, é porque no seu espesor inclúe algunha catenaria ( Gregory, 1697 ) que retoma a declaración de Hooke: "a forma ideal para un arco, é a dunha catenaria invertida ".

A imaxe tratada con Geogebra do Gateway reforza estas ideas de Gregory e Hooke. Habería que lembrar aquí como moitas construcións antigas teñen en pé unicamente os seus arcos, que son milenarios e estables porque conteñen unha catenaria. Tamén é a razón de que as pontes aguanten e teñan formas en primeira instancia parabólicas. Así Oldknow mostrounos unha construción dunha ponte do Río Cam en Inglaterra: unha parábola de ecuación y=0,03x²

E podemos mostrar a construción con Geogebra dunha ponte de Oporto

A pregunta é pero non eran as catenarias as figuras estables e non as parábolas? E a resposta pode ser unha catenaria de ecuación f(x) = a(ℯ^x + ℯ^(-x)) / 2 ten de primeira aproximación pola serie de Taylor á parábola y=a x². De feito ata Bernouilli confundiron a catenaria (a curva que fai unha cadea) coa parábola.

A torre Eiffel foi deseñada cun perfil logarítmico. A que non o sabías? y=-3,2 ln(x)-0,7

As fontes, desde Galileo sabemos que deseñan no ar unha parábola. Neste caso, y=-0,6(x-1,7)²+3,3. Como conseguimos chegar a aproximar esa ecuación ás imaxe da fotografía? Colocamos os esvaradores a, b, e k en Geogebra, que manipulamos ata conseguir que a fórmula y=a(x-b)²+k se axuste á imaxe dunha das fontes. Nesta manipulación poderemos observar como afectan os valores e ainda o signo dos tres parámetros a parábola debuxada (aumentar k sobe a parábola, a debe ser negativo para axustarse a unha fonte, a unha caída parabólica, b afecta desprazando a parábola á esquerda ou dereita, ...)

A hipérbole das torres de refrixeración da central térmica das Pontes 8x²-2y²-74x-6y+174=0 Parece incrible que unha obra de enxeñería teña unha fórmula tan simple como esa e a resposta é por dúas razóns, porque está feita cun perfil hiperbólico, é un hiperboloide de revolución, e porque ademais os eixes de coordenadas están ben escollidos para que non teña termos xy, pero poderían escollerse mellor para que non tivesen tampouco os termos en x e en y que ten. Quedaría unha ecuación 8x²-2y²=K aínda máis simple.

Nautilus. Curva espiral logarítmica. Ecuación: r=1,24 exp(0,18t)

Tinería en Lugo. Curva espiral logarítmica. Ecuación: r=4,35 exp(0,17t)

Tanto no caso do Nautilus como neste o éxito da fórmula adecuada conseguida con Geogebra está en marcar un punto A, que imos poder mover, e definir a curva como CurvaParamétrica[x(A) + a ℯ^(b t) cos(t), y(A) + a ℯ^(b t) sen(t), t, -25.13274, 50]

sendo a e b esvaradores que modificamos de forma directa e x(A), y(A) coordenadas de A, polo que movendo o punto A e os esvaradores a e b actuamos axustando visualmente a curva á imaxe que temos ou queremos aproximar.